Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Εξίσωση κύματος ($\partial_{tt} u-c^2 \nabla^2 u=0$)

Τρεις μεταβλητές (πεπερασμένο χωρίο)

Clear["Global`*"] D[u[x, y, t], {t, 2}] == D[u[x, y, t], {x, 2}] + D[u[x, y, t], {y, 2}] u[x, y, t] = X[x] Y[y] T[t] PDE = D[u[x, y, t], {t, 2}] == D[u[x, y, t], {x, 2}] + D[u[x, y, t], {y, 2}] PDE[[1]]/(X[x] Y[y] T[t]) PDE[[2]]/(X[x] Y[y] T[t]) // Expand ODEx = X''[x] == -kx^2 X[x] ODEy = Y''[y] == -ky^2 Y[y] solX = DSolve[ODEx, X[x], x] solY = DSolve[ODEy, Y[y], y] (X[x] /. solX[[1]]) /. x -> 0 (X[x] /. solX[[1]]) /. x -> 1 kx = n Pi Sin[kx x] (Y[y] /. solY[[1]]) /. y -> 0 (Y[y] /. solY[[1]]) /. y -> 3 ky = (m Pi)/3 Sin[ky y] ODEt = T''[t] == -(kx^2 + ky^2) T[t] solt = DSolve[ODEt, T[t], t] Θα προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε τα αρνητικά υπόριζα στις εκθετικές με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. solT = DSolveValue[ODEt, T[t], t] solT = Expand[Assuming[kx^2 + ky^2 > 0, Simplify[solT]]] solT = ExpToTrig[solT] solT = Simplify[solT, {C[1] + I*C[1] == C[3], C[2] - I*C[2] == C[4]}] solT /. {(C[1] + C[2]) -> C[3], I (C[1] - C[2]) -> C[4]} $u(x,y,t)=\sum _{n=1}^{\infty } \sin \left(\frac{\pi m y}{3}\right) \sin (\pi n x) \left(a_{n,m} \cos \left(\frac{1}{3} \pi t \sqrt{m^2+9 n^2}\right)+b_{n,m} \sin \left(\frac{1}{3} \pi t \sqrt{m^2+9 n^2}\right)\right)$. Άρα: - $\sum _{n=1}^{\infty } \sin \left(\frac{\pi m y}{3}\right) \sin (\pi n x) a_{n,m}=xy(1-x)(1-y)$ - $b_{n,m}$, λόγω της $T'(0)=0$. a[n_, m_] := Integrate[ Sin[n π x] Sin[(m π y)/3] x y (1 - x) (3 - y), {x, 0, 1}, {y, 0, 3}]/Integrate[Sin[n π x]^2 Sin[(m π y)/3]^2, {x, 0, 1}, {y, 0, 3}] Assuming[Element[n, Integers] && Element[m, Integers], a[n, m]] uAp[x_, y_, t_, n0_, m0_] := Sum[(144 (-1 + (-1)^m) (-1 + (-1)^n))/(m^3 n^3 π^6) Cos[1/3 Sqrt[m^2 + 9 n^2] π t] Sin[n π x] Sin[(m π y)/3], {n, 1, n0}, {m, 1, m0}] uAp[x, y, t, 3, 3] // TrigReduce Plot3D[x y (1 - x) (3 - y), {x, 0, 1}, {y, 0, 3}] Table[Plot3D[uAp[x, y, 0.1 n, 10, 10], {x, 0, 1}, {y, 0, 3}, PlotLabel -> 0.1 n], {n, 0, 10}]